オイラーの公式 - bluelogosのブログ

布団に入ってもなかなか寝付けずに頭が暴走して有名な数式

$e^{i\pi}=-1$

の導出をしてた。

以下はその過程。

<準備1>

$e^x$ を

$a_0+a_1x+a_2x^2+ ...+a_nx^n+ ...$

のような $x^n$ の和で表現できたとする（たしかマクローリン展開するという)。すると具体的に $a_n$ はどんな値になるかを導いてみる。

$\begin{equation}e^x=a_0+a_1x+a_2x^2+ ...+a_nx^n+ ...\end{equation}$

の両辺を微分すると左辺はそのまんまだから..

$e^x=a_1+2 a_2x+3 a_3x^2+ ...+\left(n+1\right)a_{n+1}x^n+ ...$

という式が導出される。上の式から下の式を引いてやると

$0=\left(a_0 - a_1\right)+\left(a_1 - 2 a_2\right)x+\left(a_2 - 3 a_3\right)x^2+ ...+\left(a_n - \left(n+1\right)a_{n+1}\right)x^n+ ...$

となる。これは $x$ についての恒等式( $x$ がどのような値でも成り立つ等式)だから、各項の係数は全て0じゃないといけない。つまり、

$a_n - \left(n+1\right)a_{n+1} = 0$

じゃないといけない。これをもう少し、整えてやると、

$a_{n} = \frac{1}{n}a_{n-1}$

これを繰り返し用いて、

$a_{n} = \frac{1}{n}a_{n-1} = \frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n-1 }a_{n-2} = \frac{1}{n} \cdot\frac{1}{n-1 } \cdot\cdot\cdot \frac{1}{1}a_{0} = \frac{1}{n!}a_0$

あとは $a_0$ の値が分かればいいが、これは恒等式に $x=0$ を代入すれば、簡単に $a_0=1$ と求まるから、結局

$e^x=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{k!}x^k$

で具体的に表現できた!!

<準備2>

つづいて、 $\sin x$ を展開して表現してみる。

$\sin x = a_0+a_1x+a_2x^2+ ...+a_nx^n+ ...$

使う性質は二回微分したときに

$\sin x$ → $-\sin x$ になるというもの!!

つまり,

$a_0+a_1x+a_2x^2+ ...+a_nx^n+ ... = - 2a_2 - 3 \cdot 2 x - 4 \cdot 3 x^2 - \cdot \cdot - \left(n+2\right)\left(n+1\right)a_{n+2}x^n - \cdot \cdot ...$

これは $x$ についての恒等式だから、

$a_n = -\left(n+2\right)\left(n+1\right)a_{n+2}$

が成り立つ。

整理すると

$a_n=-\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} a_{n-2}$

これを繰り返し用いると、添え字が偶数奇数でそれぞれ

$a_{2m}=\frac{1}{\left(2m\right)!}\left(-1\right)^m a_0$

$a_{2n+1}=\frac{1}{\left(2n+1\right)!}\left(-1\right)^n a_1$

そして、恒等式に $x=0$ 、恒等式を一回微分したものに $x=0$ を代入することで、

$a_0=0$ 、 $a_1=1$ がすぐに分かるから、結局

$\sin x= \sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{\left(2k+1\right)!}\left(-1\right)^k x^{2k+1}$

で導けた!!

もう一つ、 $\cos x$ も同様にやってみると $\sin x$ と途中までは全く

同様に導けて最後の $a_0$ 、 $a_1$ だけが、 $a_0=1$ 、 $a_1=0$ で違っていて結局、

$\cos x= \sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{\left(2k\right)!}\left(-1\right)^k x^{2k}$

となる。

<本番>

<準備1>で得られた $e^x$ についてまことに勝手ながら $x$ を虚数にまで拡張させてみる。

細かいことは気にしない(所詮素人のたわごとですから)

特に $x=i\pi$ として代入してみると、

$e^{i\pi}=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{k!}\left(i\pi\right)^{k} = i \cdot \sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{\left(2k+1\right)!}\left(-1\right)^k \pi^{2k+1} + \sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{\left(2k\right)!}\left(-1\right)^k \pi^{2k}$

ここで、<準備2>で得られた展開式を用いると、

$e^{i\pi}=i\sin \pi + \cos \pi = -1$

となって有名な（世界一美しいらしい?)式が得られた!!

やっぱ美しい。

やっぱ数学楽しいわ。