オイラーの公式
布団に入ってもなかなか寝付けずに頭が暴走して有名な数式
の導出をしてた。
以下はその過程。
<準備1>
を
のようなの和で表現できたとする(たしかマクローリン展開するという)。すると具体的にはどんな値になるかを導いてみる。
の両辺を微分すると左辺はそのまんまだから..
という式が導出される。上の式から下の式を引いてやると
となる。これはについての恒等式(がどのような値でも成り立つ等式)だから、各項の係数は全て0じゃないといけない。つまり、
じゃないといけない。これをもう少し、整えてやると、
これを繰り返し用いて、
あとはの値が分かればいいが、これは恒等式にを代入すれば、簡単にと求まるから、結局
で具体的に表現できた!!
<準備2>
つづいて、を展開して表現してみる。
使う性質は二回微分したときに
→になるというもの!!
つまり,
これはについての恒等式だから、
が成り立つ。
整理すると
これを繰り返し用いると、添え字が偶数奇数でそれぞれ
そして、恒等式に、恒等式を一回微分したものにを代入することで、
、がすぐに分かるから、結局
で導けた!!
もう一つ、も同様にやってみるとと途中までは全く
同様に導けて最後の、だけが、、で違っていて結局、
となる。
<本番>
<準備1>で得られたについてまことに勝手ながらを虚数にまで拡張させてみる。
細かいことは気にしない(所詮素人のたわごとですから)
特にとして代入してみると、
ここで、<準備2>で得られた展開式を用いると、
となって有名な(世界一美しいらしい?)式が得られた!!
やっぱ美しい。
やっぱ数学楽しいわ。